Не ботай

Метод Гаусса: решаем систему уравнений пошагово

Универсальный способ решить любую СЛАУ: превращаем систему в «лесенку» и снизу вверх находим все неизвестные. Разбираем на живом примере 3×3.

Что такое метод Гаусса на самом деле

Метод Гаусса — это способ решать системы линейных уравнений, у которого одна идея: последовательно избавляться от неизвестных. Из второго уравнения убираем xx, из третьего — xx и yy, пока система не станет «лесенкой» (треугольной). А по лесенке решение находится само: из нижнего уравнения — последняя неизвестная, подставили выше — следующая, и так до верха.

Суть

Ты уже делал это в школе, когда «вычитал одно уравнение из другого». Метод Гаусса — то же самое, только по чёткому алгоритму, который не ломается ни на какой системе.

С уравнениями можно делать три вещи, которые не меняют решения (элементарные преобразования):

  1. менять строки местами;
  2. умножать строку на любое ненулевое число;
  3. прибавлять к строке другую строку, умноженную на число.

Алгоритм за 4 шага

  1. Записать расширенную матрицу системы — только коэффициенты, без букв.
  2. Прямой ход: преобразованиями сделать нули под главной диагональю.
  3. Обратный ход: из последней строки найти последнюю неизвестную и подставлять снизу вверх.
  4. Проверка: подставить ответ в исходную систему (30 секунд, спасает от пересдачи).

Полный разбор примера

Пример 3×3

Решим систему:

{x+y+z=62x−y+z=3x+2y−z=2\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}

Шаг 1. Расширенная матрица. Переписываем коэффициенты и правые части:

(11162−11312−12)\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \end{array}\right)

Шаг 2. Прямой ход. Убираем xx из второй и третьей строк. Ведущий элемент — единица в левом верхнем углу, это удобно: из второй строки вычитаем первую, умноженную на 2, из третьей — просто первую:

(11162−11312−12)  →R3−R1R2−2R1  (11160−3−1−901−2−4)\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \end{array}\right) \;\xrightarrow[R_3 - R_1]{R_2 - 2R_1}\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{array}\right)

Теперь убираем yy из третьей строки: прибавляем к ней вторую, умноженную на 13\tfrac{1}{3}:

(11160−3−1−901−2−4)  →  R3+ 13R2    (11160−3−1−900−73−7)\def\arraystretch{1.35} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{array}\right) \;\xrightarrow{\;R_3 +\, \tfrac{1}{3}R_2\;}\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 0 & -\tfrac{7}{3} & -7 \end{array}\right)

Лесенка готова — под диагональю нули.

Шаг 3. Обратный ход. Идём снизу вверх:

−73z=−7  ⇒  z=3-\tfrac{7}{3}z = -7 \;\Rightarrow\; z = 3−3y−z=−9  ⇒  −3y−3=−9  ⇒  y=2-3y - z = -9 \;\Rightarrow\; -3y - 3 = -9 \;\Rightarrow\; y = 2x+y+z=6  ⇒  x=6−2−3=1x + y + z = 6 \;\Rightarrow\; x = 6 - 2 - 3 = 1

Шаг 4. Проверка. Подставляем x=1,  y=2,  z=3x=1,\; y=2,\; z=3 во второе уравнение (самое «неудобное»): 2⋅1−2+3=32 \cdot 1 - 2 + 3 = 3 — сходится. Ответ: (1; 2; 3)(1;\, 2;\, 3).

Типичные ошибки

Правило

Строка   0  0  0  ∣  c\;0\;0\;0\;|\;c при c≠0c \neq 0 означает «решений нет». Строка из одних нулей — вычёркивается. Осталось уравнений меньше, чем неизвестных, — решений бесконечно много, и часть переменных объявляется свободными.

Частые вопросы

Чем метод Гаусса лучше метода Крамера?

Крамер работает только для квадратных систем с ненулевым определителем и требует считать много определителей. Гаусс работает для любой системы, даже когда решений нет или их бесконечно много, и считается быстрее уже с размера 3×3.

Что делать, если на диагонали получился ноль?

Поменять местами строки — это разрешённое элементарное преобразование. Если во всём столбце ниже тоже нули, переходи к следующему столбцу.

Как понять, что система не имеет решений?

Если после прямого хода появилась строка вида 0 = c, где c не ноль — система несовместна, решений нет. Строка 0 = 0 просто вычёркивается, а если уравнений осталось меньше, чем неизвестных — решений бесконечно много.

Можно ли умножать строку на ноль?

Нет. Разрешено умножать строку только на ненулевое число — умножение на ноль стирает уравнение, и система меняется.

Связанные темы