Не ботай

Метод Крамера: решаем систему определителями

Один определитель на систему, по одному на каждую неизвестную — и ответ готов дробью Δᵢ/Δ. Разбираем на 2×2 и 3×3 и честно говорим, когда Крамер проигрывает Гауссу.

Идея метода

Для квадратной СЛАУ с ненулевым главным определителем каждая неизвестная находится одной дробью:

xi=ΔiΔx_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}

где Δ\Delta — определитель матрицы коэффициентов, а Δi\Delta_i — тот же определитель, в котором ii-й столбец заменён столбцом свободных членов.

Правило

Порядок действий железный: сначала посчитай Δ\Delta. Если Δ=0\Delta = 0 — метод не работает, переходи к Гауссу. Если нет — считай остальные определители.

Разминка: система 2×2

Пример 2×2

{2x+3y=8x−y=−1\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = -1 \end{cases}

Главный определитель (коэффициенты при неизвестных):

Δ=∣231−1∣=2⋅(−1)−3⋅1=−5≠0\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 = -5 \neq 0

Определители неизвестных — подменяем столбцы на свободные члены (8;−1)(8; -1):

Δx=∣83−1−1∣=−8+3=−5,Δy=∣281−1∣=−2−8=−10\Delta_x = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -8 + 3 = -5, \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 8 = -10

Ответ:

x=ΔxΔ=−5−5=1,y=ΔyΔ=−10−5=2x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-5}{-5} = 1, \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-10}{-5} = 2

Проверка: 2⋅1+3⋅2=82 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 8 ✓ и 1−2=−11 - 2 = -1 ✓.

Система 3×3 — и сверка с Гауссом

Возьмём ту же систему, которую мы решали методом Гаусса, — методы обязаны дать один ответ.

Пример 3×3

{x+y+z=62x−y+z=3x+2y−z=2\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}

Главный определитель (раскладываем по первой строке):

Δ=∣1112−1112−1∣=1(1−2)−1(−2−1)+1(4+1)=−1+3+5=7\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(1 - 2) - 1(-2 - 1) + 1(4 + 1) = -1 + 3 + 5 = 7

Три определителя неизвестных — по очереди подменяем столбцы на (6;3;2)(6; 3; 2):

Δx=∣6113−1122−1∣=7,Δy=∣16123112−1∣=14,Δz=∣1162−13122∣=21\Delta_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 7, \quad \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 14, \quad \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 21

Ответ:

x=77=1,y=147=2,z=217=3x = \frac{7}{7} = 1, \qquad y = \frac{14}{7} = 2, \qquad z = \frac{21}{7} = 3

Ровно то же (1; 2; 3)(1;\,2;\,3), что дал Гаусс. Совпадение двух методов — лучшая проверка на экзамене.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Когда метод Крамера применять нельзя?

Когда система не квадратная (уравнений не столько же, сколько неизвестных) или когда главный определитель равен нулю. В обоих случаях выручает метод Гаусса — он работает всегда.

Что значит Δ = 0?

Единственного решения нет: система либо несовместна (решений нет), либо имеет бесконечно много решений. Какой именно случай — Крамер не скажет, нужно исследовать систему методом Гаусса.

Крамер или Гаусс — что выбирать?

Для 2×2 Крамер быстрее и приятнее. Для 3×3 — дело вкуса: четыре определителя против лесенки. От 4×4 и выше Крамер становится наказанием: определители растут лавинообразно, Гаусс выигрывает с разгромом.

Как составляется определитель Δᵢ?

Берёшь главный определитель и заменяешь i-й столбец (столбец коэффициентов при искомой неизвестной) на столбец свободных членов. Больше ничего не меняется.

Связанные темы