Не ботай

Обратная матрица: как найти и не запутаться

Обратная матрица — это «деление» в мире матриц. Разбираем формулу-выручалочку для 2×2 и полный алгоритм для 3×3 на примере с целыми числами.

Что такое обратная матрица

Для числа 55 обратное — это 15\tfrac{1}{5}: их произведение равно единице. С матрицами так же: обратная матрица A−1A^{-1} — это матрица, которая при умножении на AA даёт единичную матрицу EE:

A⋅A−1=A−1⋅A=EA \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E

Правило

Обратная матрица существует только если матрица квадратная и её определитель не равен нулю: det⁡A≠0\det A \neq 0. Поэтому первый шаг всегда один — посчитать определитель.

Для матрицы 2×2 — формула за 10 секунд

Элементы главной диагонали меняем местами, у побочной — меняем знаки, и всё делим на определитель:

A=(abcd)⇒A−1=1ad−bc(d−b−ca)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Пример 2×2

A=(2714),det⁡A=2⋅4−7⋅1=1A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, \qquad \det A = 2 \cdot 4 - 7 \cdot 1 = 1

Определитель не ноль — обратная есть. Меняем диагональ и знаки:

A−1=11(4−7−12)=(4−7−12)A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 4 & -7 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -7 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

Проверка: (2714)(4−7−12)=(8−7−14+144−4−7+8)=(1001)\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -7 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-7 & -14+14 \\ 4-4 & -7+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} — единичная. Готово.

Для 3×3 — метод алгебраических дополнений

Алгоритм из четырёх шагов:

  1. Посчитать det⁡A\det A. Если ноль — стоп, обратной нет.
  2. Для каждого элемента найти алгебраическое дополнение AijA_{ij}: вычеркнуть строку и столбец элемента, посчитать определитель оставшейся 2×2 и умножить на (−1)i+j(-1)^{i+j}.
  3. Составить из дополнений матрицу и транспонировать её — получится присоединённая матрица.
  4. Разделить всё на det⁡A\det A.

Пример 3×3

A=(1022−13418)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 8 \end{pmatrix}

Шаг 1. Определитель (раскладываем по первой строке):

det⁡A=1⋅∣−1318∣−0+2⋅∣2−141∣=1⋅(−11)+2⋅6=1\det A = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 8 \end{vmatrix} - 0 + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-11) + 2 \cdot 6 = 1

Не ноль — работаем дальше. И приятный бонус: делить в конце придётся на 1.

Шаг 2. Алгебраические дополнения. Покажем два первых подробно:

A11=(+1)∣−1318∣=−8−3=−11,A12=(−1)∣2348∣=−(16−12)=−4A_{11} = (+1)\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 8 \end{vmatrix} = -8 - 3 = -11, \qquad A_{12} = (-1)\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} = -(16-12) = -4

Остальные считаются так же: A13=6A_{13}=6, A21=2A_{21}=2, A22=0A_{22}=0, A23=−1A_{23}=-1, A31=2A_{31}=2, A32=1A_{32}=1, A33=−1A_{33}=-1.

Шаг 3. Транспонируем матрицу дополнений (строки становятся столбцами):

A−1=1det⁡A(−1122−4016−1−1)=(−1122−4016−1−1)A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} -11 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 1 \\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 1 \\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}

Шаг 4. Проверка первой строки произведения A⋅A−1A \cdot A^{-1}: 1⋅(−11)+0⋅(−4)+2⋅6=11\cdot(-11) + 0\cdot(-4) + 2\cdot 6 = 1 и 1⋅2+0⋅0+2⋅(−1)=01\cdot 2 + 0\cdot 0 + 2\cdot(-1) = 0 — растёт единичная матрица, ответ верный.

Типичные ошибки

Частые вопросы

У любой матрицы есть обратная?

Нет. Обратная существует только у квадратной матрицы с ненулевым определителем. Если определитель равен нулю, матрица называется вырожденной и обратной у неё нет.

Как быстро проверить, что обратная найдена верно?

Умножь исходную матрицу на найденную: должна получиться единичная матрица (единицы на диагонали, нули вокруг). Достаточно проверить пару элементов, чтобы поймать арифметическую ошибку.

Какой метод выбрать: дополнения или Гаусс?

Для 2×2 — формула, это десять секунд. Для 3×3 оба метода дают одинаковый объём работы. Для 4×4 и больше метод Гаусса—Жордана заметно быстрее: дополнений становится слишком много.

Почему в ответе появляются дроби?

Потому что все элементы делятся на определитель. Если он равен 1 или −1, ответ целый; в остальных случаях дроби — это норма, не ошибка.

Связанные темы