Не ботай

Интегрирование рациональных дробей: развалить и победить

Страшная дробь с многочленами разваливается на простейшие кусочки, каждый из которых интегрируется одной строчкой таблицы. Разбираем весь конвейер на примере.

План победы

Рациональная дробь — это отношение двух многочленов. Интегрируется она всегда, и всегда одним конвейером:

  1. Дробь неправильная (степень числителя ≥ степени знаменателя)? Делим уголком, выделяем целую часть.
  2. Раскладываем знаменатель на множители.
  3. Разваливаем дробь на простейшие с неизвестными коэффициентами A,B,…A, B, \dots
  4. Находим коэффициенты и интегрируем каждый кусочек по таблице.

Суть

Простейшая дробь вида Ax−a\dfrac{A}{x-a} интегрируется мгновенно: ∫Ax−a dx=Aln⁡∣x−a∣+C\displaystyle\int \frac{A}{x-a}\,dx = A\ln|x-a| + C. Весь метод — свести страшное к этой строчке.

Полный разбор примера

Пример

∫x+5x2−x−2 dx\int \frac{x+5}{x^2 - x - 2}\,dx

Шаг 1. Дробь правильная: степень числителя 1, знаменателя 2. Целую часть выделять не надо.

Шаг 2. Раскладываем знаменатель. Корни x2−x−2=0x^2 - x - 2 = 0: это x=2x = 2 и x=−1x = -1, значит:

x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)

Шаг 3. Разваливаем на простейшие:

x+5(x−2)(x+1)=Ax−2+Bx+1\frac{x+5}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}

Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители:

x+5=A(x+1)+B(x−2)x + 5 = A(x+1) + B(x-2)

Шаг 4. Находим коэффициенты подстановкой корней. При x=2x = 2: 7=3A⇒A=737 = 3A \Rightarrow A = \tfrac{7}{3}. При x=−1x = -1: 4=−3B⇒B=−434 = -3B \Rightarrow B = -\tfrac{4}{3}.

Шаг 5. Интегрируем по таблице:

∫x+5x2−x−2 dx=73∫dxx−2−43∫dxx+1=73ln⁡∣x−2∣−43ln⁡∣x+1∣+C\int \frac{x+5}{x^2-x-2}\,dx = \frac{7}{3}\int\frac{dx}{x-2} - \frac{4}{3}\int\frac{dx}{x+1} = \frac{7}{3}\ln|x-2| - \frac{4}{3}\ln|x+1| + C

Проверка (дифференцируем ответ): 7/3x−2−4/3x+1=73(x+1)−43(x−2)(x−2)(x+1)=x+5x2−x−2\dfrac{7/3}{x-2} - \dfrac{4/3}{x+1} = \dfrac{\tfrac{7}{3}(x+1) - \tfrac{4}{3}(x-2)}{(x-2)(x+1)} = \dfrac{x+5}{x^2-x-2} — исходная дробь, всё верно.

Какие бывают простейшие дроби

ТипВидВо что интегрируется
IAx−a\dfrac{A}{x-a}Aln⁡∣x−a∣A\ln\lvert x-a\rvert
IIA(x−a)n\dfrac{A}{(x-a)^n}степенная формула, без логарифма
IIIMx+Nx2+px+q\dfrac{Mx+N}{x^2+px+q}, D<0D<0логарифм + арктангенс

Кратный корень (x−a)2(x-a)^2 даёт две дроби: Ax−a+B(x−a)2\tfrac{A}{x-a} + \tfrac{B}{(x-a)^2} — об этом забывают чаще всего.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Что делать, если степень числителя не меньше степени знаменателя?

Сначала разделить многочлены уголком и выделить целую часть. На простейшие дроби раскладывается только правильная дробь — у которой степень числителя строго меньше.

Как быстро найти коэффициенты A и B?

Подставить в тождество корни знаменателя: при каждом корне обнуляется всё, кроме одного слагаемого, и коэффициент находится за одну строчку. Это быстрее, чем раскрывать скобки и приравнивать коэффициенты при степенях.

А если знаменатель не раскладывается на линейные множители?

Неразложимый квадратный трёхчлен (дискриминант меньше нуля) даёт простейшую дробь третьего типа — она интегрируется через выделение полного квадрата в логарифм и арктангенс.

Почему в ответе модули под логарифмами?

Потому что ∫dx/x = ln|x| + C: логарифм определён только для положительных чисел, а первообразная нужна на всей области определения дроби. Без модуля ответ засчитают неполным.

Связанные темы