Зачем вообще три формы, если это одно число?

У каждой своя специализация: складывать и вычитать удобно в алгебраической, умножать и делить — в тригонометрической, возводить в степень и извлекать корни — в показательной. Половина задач типовика — просто переходы между формами.

Как не ошибиться с аргументом в разных четвертях?

Нарисуй число на плоскости — точку (a; b) — и посмотри, в какой четверти она лежит. Формула arctg(b/a) даёт правильный угол только в первой и четвёртой четвертях; во второй и третьей нужно прибавить или вычесть π.

Что такое формула Муавра?

Правило возведения в степень: модуль возводится в степень n, аргумент умножается на n. В показательной форме это очевидно: (re^{iφ})^n = r^n e^{inφ}.

Чему равно i в квадрате и почему?

i² = −1 — это определение мнимой единицы: i вводится как число, квадрат которого равен −1. Отсюда i³ = −i, i⁴ = 1, и дальше степени зацикливаются с периодом 4.

Комплексные числа: три формы записи и как между ними переходить

Одно и то же комплексное число можно записать тремя способами — и у каждого своя суперсила. Разбираем все три на примере 1+i и учимся переходить между ними без ошибок.

Форма 1: алгебраическая

z = a + bi, \qquad i^2 = -1

Здесь $a$ — действительная часть, $b$ — мнимая. Геометрически $z$ — точка $(a;\, b)$ на комплексной плоскости. В этой форме удобно складывать и вычитать: просто по частям, как векторы.

Форма 2: тригонометрическая

Ту же точку можно задать не координатами, а расстоянием и углом:

z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)

Модуль $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ — расстояние от нуля до точки;
Аргумент $\varphi$ — угол от положительной оси до луча на точку.

Осторожно

Аргумент — главное место ошибок. Формула $\operatorname{tg}\varphi = \tfrac{b}{a}$ не различает четверти: у чисел $1+i$ и $-1-i$ тангенс одинаковый, а углы отличаются на $\pi$ . Всегда рисуй точку и определяй четверть глазами.

Форма 3: показательная

Формула Эйлера $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$ сжимает тригонометрическую форму до трёх символов:

z = r e^{i\varphi}

В этой форме степени и корни считаются как с обычными степенями — за это её и любят.

Переводим 1 + i во все формы

Пример

Дано $z = 1 + i$ , то есть $a = 1$ , $b = 1$ — точка в первой четверти.

Модуль:

r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

Аргумент: точка на биссектрисе первой четверти, значит

\varphi = \frac{\pi}{4}

Три записи одного числа:

z = 1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\, e^{i\pi/4}

Бонус — степень через показательную форму (формула Муавра):

(1+i)^8 = \left(\sqrt{2}\right)^{8} e^{i \cdot 8\pi/4} = 16\, e^{2\pi i} = 16

Попробуй получить это раскрытием скобок восемь раз — поймёшь, зачем нужна третья форма.

Шпаргалка переходов

Алгебраическая → тригонометрическая: посчитай $r = \sqrt{a^2+b^2}$ , найди $\varphi$ по точке на плоскости.
Тригонометрическая → алгебраическая: раскрой косинус и синус: $a = r\cos\varphi$ , $b = r\sin\varphi$ .
Тригонометрическая ↔ показательная: просто перепиши: $r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = re^{i\varphi}$ .

Типичные ошибки

Аргумент не из той четверти — рисуй точку, не доверяй арктангенсу вслепую.
Потерять модуль при возведении в степень: в Муавре $r$ тоже возводится в степень, не только угол умножается.
Записать $-1 - i$ с положительным углом $\pi/4$ — это третья четверть, $\varphi = -\tfrac{3\pi}{4}$ (или $\tfrac{5\pi}{4}$ ).
Считать $i$ переменной и «сокращать» её. $i$ — конкретное число с правилом $i^2 = -1$ .

Комплексные числа: три формы одного числа