Не ботай

Формула Байеса: пересматриваем вероятность на пальцах

Байес отвечает на один вопрос: как изменить оценку вероятности, когда пришла новая информация. Разбираем формулу без мистики и решаем задачу, ответ которой удивляет даже отличников.

Сама формула и как её читать

Пусть событие BB уже произошло, и есть гипотезы A1,…,AnA_1, \dots, A_n — возможные «причины». Тогда вероятность того, что сработала именно гипотеза AkA_k:

P(Ak∣B)=P(Ak) P(B∣Ak)∑i=1nP(Ai) P(B∣Ai)P(A_k \mid B) = \frac{P(A_k)\, P(B \mid A_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A_i)\, P(B \mid A_i)}

Читается проще, чем выглядит:

Суть

Смысл в одну строку: новая вероятность = вклад твоей гипотезы ÷ вклады всех гипотез. Байес — это просто честная доля.

Классическая задача: тест на редкую болезнь

Задача

Болезнь есть у 1%1\% населения. Тест находит болезнь у больного с вероятностью 90%90\%, но и у здорового ошибочно срабатывает в 9%9\% случаев. Тест показал положительный результат. Какова вероятность, что человек действительно болен?

Интуиция кричит «около 90%» — проверим её формулой.

Гипотезы: A1A_1 — болен, P(A1)=0,01P(A_1) = 0{,}01; A2A_2 — здоров, P(A2)=0,99P(A_2) = 0{,}99. Событие BB — тест положительный: P(B∣A1)=0,9P(B \mid A_1) = 0{,}9; P(B∣A2)=0,09P(B \mid A_2) = 0{,}09.

Знаменатель (полная вероятность положительного теста):

P(B)=0,01⋅0,9+0,99⋅0,09=0,009+0,0891=0,0981P(B) = 0{,}01 \cdot 0{,}9 + 0{,}99 \cdot 0{,}09 = 0{,}009 + 0{,}0891 = 0{,}0981

Формула Байеса:

P(A1∣B)=0,01⋅0,90,0981=0,0090,0981≈0,092P(A_1 \mid B) = \frac{0{,}01 \cdot 0{,}9}{0{,}0981} = \frac{0{,}009}{0{,}0981} \approx 0{,}092

Ответ: около 9%9\%. Не 90. Из тысячи человек больны десять, тест поймает девятерых — но ещё у ~89 здоровых он сработает ложно. На один «настоящий» плюс приходится десять ложных.

Алгоритм решения любой задачи на Байеса

  1. Выписать гипотезы AiA_i и их вероятности. Проверить: сумма P(Ai)P(A_i) равна 1.
  2. Для каждой гипотезы выписать P(B∣Ai)P(B \mid A_i) — вероятность события при этой гипотезе.
  3. Посчитать знаменатель — полную вероятность P(B)P(B).
  4. Разделить вклад нужной гипотезы на знаменатель. Проверка: сумма всех P(Ai∣B)P(A_i \mid B) тоже равна 1.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Чем формула Байеса отличается от формулы полной вероятности?

Полная вероятность считает шанс события «вперёд», перебирая все причины. Байес работает «назад»: событие уже случилось, и мы пересчитываем, какая из причин к нему привела. Знаменатель формулы Байеса — это и есть полная вероятность.

Как понять, что задача именно на Байеса?

По формулировке «известно, что событие произошло; какова вероятность, что причиной была…». Слова-маркеры: «оказался», «известно что», «при условии что».

Что такое априорная и апостериорная вероятность?

Априорная — оценка до получения информации, апостериорная — после. Формула Байеса как раз превращает первую во вторую.

Почему в задачах про тесты ответ такой маленький?

Потому что при редком событии ложные срабатывания на огромной здоровой группе численно задавливают правильные срабатывания на маленькой больной. Это не парадокс, а честная арифметика.

Связанные темы